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              向量共線的條件

              2020-02-14 10:20:37文/葉丹

              零向量與任何向量共線。非零向量共線條件是b=λa,其中a≠0,λ是唯一實數。共線向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,任意一組平行向量都可移到同一直線上,所以稱爲共線向量。

              向量共線的條件

              平面向量共線的條件

              零向量與任何向量共線

              以下考慮非零向量,三個方法

              (1)方向相同或相反

              (2)向量a=k向量b

              (3)a=(x1,y1),b=(x2,y2)

              a//b等價于x1y2-x2y1=0

              共線向量基本定理

              如果a≠0,那麽向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數λ,使得b=λa。

              證明:

              1)充分性:對于向量 a(a≠0)、b,如果有一個實數λ,使 b=λa,那麽由實數與向量的積的定義知,向量a與b共線。

              2)必要性:已知向量a與b共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那麽當向量a與b同方向時,令 λ=m,有 b=λa,當向量a與b反方向時,令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那麽λ=0。

              3)唯一性:如果 b=λa=μa,那麽(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。

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